Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 30 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
координат в направлении вектора c). Решение u(x) должно быть постоянно на каждом
таком луче. Считая, что функция u(x) непрерывна в нуле заключаем, что решениями
рассматриваемого уравнения в частных производных являются только константы.
В качестве еще одного примера рассмотрим уравнение Лиувилля
∂Φ
∂t
+ {H, Φ} = 0 , (3.7)
где H = H(t, q, p) — функция Гамильтона (функция полной энергии системы), Φ =
Φ(t, q, p) — искомая функция, q и p — так называемые обобщенные координаты и им-
пульсы, t — время, а {H, Φ} — скобка Пуассона. Последняя определяется равенством
{H, Φ} =
n
X
i=1
∂H
∂p
i
∂Φ
∂q
i
−
∂H
∂q
i
∂Φ
∂p
i
. (3.8)
Уравнение Лиувилля является линейным однородным уравнением в частных производных
с характеристическим векторным полем
v =
1,
∂H
∂p
1
, . . .
∂H
∂p
n
, −
∂H
∂q
1
, . . . −
∂H
∂q
n
=
1,
∂H
∂p
, −
∂H
∂q
.
Уравнения характеристик имеют вид
dt
dτ
= 1 ,
dq
dτ
=
∂H
∂p
,
dp
dτ
= −
∂H
∂q
,
т.е.
(
dq
dt
=
∂H
∂p
,
dp
dt
= −
∂H
∂q
.
(3.9)
и называются каноническими уравнениями Гамильтона. Решение Φ уравнения Лиувил-
ля является постоянным на траекториях канонических уравнений.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- …
- следующая ›
- последняя »
