Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 31 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 3.3. Задачей Коши для уравнения (3.4) называется задача о нахождении
решения u этого уравнения, удовлетворяющая условию
u|
Γ
= f , (3.10)
где Γ — заданная гладкая гиперповерхность, а f — определенная на ней функция. Ги-
перповерхность Γ называется начальной.
Определение 3.4. Точка x
0
начальной гиперповерхности Γ называется нехарактери-
стической, если характеристика, проходящая через эту точку, трансверсальна (т.е. —
не касательна) поверхности Γ.
Теорема 3.5. Пусть x
0
— нехарактеристическая точка поверхности Γ. Тогда в неко-
торой окрестности этой точки существует и единственно решение u задачи Коши
для уравнения (3.4) с начальной гиперповерхностью Γ.
Доказательство. Пусть в окрестности точки x
0
поверхность Γ ∈ R
n
задана параметри-
ческим уравнением x = γ(s), где s ∈ R
n−1
. Обозначая параметр на интегральных кривых
характеристического поля через t, введем криволинейные координаты (t, s) в окрестно-
сти точки x
0
. Для фиксированной точки x они определяются следующим образом. Через
каждую начальную точку γ(s) ∈ Γ проходит и при том только одна (локально) инте-
гральная кривая x(t; s) уравнения (3.5). Тогда точка x получается как значение решения
x(t) задачи Коши для уравнения (3.5) с начальным условием x(0) = γ(s). Таким обра-
зом, точка x взаимно однозначно определяется парой (t, s). Единственный тонкий вопрос
состоит в том, а любая ли точка x (в достаточно малой окрестности рассматриваемой
нехарактеристической точки) получит координаты (t, s), т.е. обязательно ли, выйдя из
точки x по характеристике, мы достигнем поверхности Γ. Ответ будет положительным в
силу теоремы о продолжимости решения обыкновенного дифференциального уравнения
и нехарактеристичности поверхности Γ в некоторой окрестности точки x
0
.
4
В новых
4
мы не будем более строго обосновывать этот факт апеллируя к геометрической интуиции
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
