Составители:
Рубрика:
Теория устойчивости
Качественная теория
Уравнеия в частных . . .
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 28 из 47
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Как и предыдущее — это нелинейное уравнение, однако тот факт, что частные про-
изводные входят в уравнение линейно выделяет его в отдельную группу квазилиней-
ных уравнений. Это уравнение описывает свободное движение частицы вдоль прямой
x. Действительно, если u(x, t) — скорость частицы в точке x в момент времени t, то
x = x
0
+ u(x, t)t, согласно второму закону Ньютона, удовлетворяет уравнению x
00
= 0.
При этом x
0
= u(x, t), откуда согласно правилу дифференцирования сложной функции
x
00
= u
t
+ u
x
· x
0
= u
t
+ uu
x
= 0 .
Обратно, из уравнения Эйлера–Хопфа можно вывести уравнение Ньютона, т.е. эти опи-
сания движения эквивалентны. Заметим, что уравнение Ньютона является уравнением
эволюции частиц, в то время как уравнение Эйлера–Хопфа является уравнением поля
(уравнением для волн). Здесь мы имеем наглядный пример двойственности описания
одних и тех же физических явлений — при помощи волн и при помощи частиц. Ока-
зывается эта двойственность в некотором смысле универсальна, т.е. если поле
удовлетворяет некоторому уравнению в частных производных первого порядка, то
его изучение может быть сведено к изучению эволюции частиц, движение которых
описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
3.2. Линейные уравнения в частных производных
Пусть v = v(x) — векторное поле в области евклидова пространства. Уравнение
D
v
u = 0 (3.4)
называется линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производ-
ных. Напомним, что D
v
u — производная от u по вектору v, т.е.
D
v
u(x) = lim
t→0
u(x + tv(x)) − u(x)
t
=
n
X
i=1
v
i
(x)
∂u
∂x
i
,
где v
i
и x
i
— координаты векторов, соответственно, v и x.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
