Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 136 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Заметим, что
θ
∗
(dy
1
∧ dy
2
) = det θ
0
· dx
1
∧ dx
2
,
т.е. отображение θ сохраняет ориентацию на плоскости (формы dy
1
∧dy
2
и dx
1
∧dx
1
задают
одну и ту же ориентацию плоскости R
2
). Как следствие, положительная ориентация на
∂J
2
индуцирует положительную ориентацию на границе клетки D, т.е. на ∂D.
Опишем эту ситуацию несколько подробнее. Если γ : [a, b] → R
2
— гладкий путь, то
θ ◦ γ : [a, b] → R
2
— тоже гладкий путь. Скорость пути θ ◦ γ равна (θ ◦ γ)
0
= θ
0
◦ γ · γ
0
.
Напомним, что здесь знак умножения обозначает действие линейного отображения θ
0
в
точке γ на вектор γ
0
(в координатной форме — умножение матрицы Якоби на вектор).
Отсюда, если τ
x
— единичный касательный вектор в точке x к пути γ, то θ
0
x
(τ
x
) —
касательный (не обязательно единичный) вектор к пути θ ◦ γ в точке θ(x). Этот факт
можно описать как тот, что при гладком отображении касательный вектор к кривой
отображается в касательный же вектор к образу кривой. С нормальными векторами дело
обстоит иначе: если n
x
— нормаль к пути γ в точке x, то вектор θ
0
x
(n
x
) уже не будет,
вообще говоря, нормальным вектором к пути θ ◦ γ. Но ориентация векторов θ
0
(τ), θ
0
(n)
(в данном порядке) будет той же, что и векторов τ, n:
θ
0
(τ) ∧θ
0
(n) = det θ
0
· τ ∧ n ,
причем нормальная составляющая вектора θ
0
(n) будет вектором внутренней нормали
(считая, что путь θ ◦ γ является частью границы клетки), если нормаль n является
внутренней к границе квадрата.
Углы клетки D являются образами углов квадрата J
2
. Поскольку отображение θ со-
храняет ориентацию, углы клетки будут по величине меньше 180
◦
. В силу взаимной
однозначности отображения θ, количество углов сохранится. Это означает, что ни круг,
ни треугольник, ни не выпуклый четырехугольник не могут быть клетками. Примером
клетки может служить подграфик гладкой не обращающейся в ноль функции на интер-
вале.

Страницы