Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 226 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 226 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Эта формула называется интегралом Гаусса. Воспользуемся теперь формулой (14.2),
считая, что x ∈ D. Тогда
div F(x) = lim
D
1
→x
1
V (D
1
)
Z
∂D
1
dS
z
Z
D
hz −y|N
z
i
|z −y|
n
f(y) dy
= lim
D
1
→x
1
V (D
1
)
Z
D
dy f(y)
Z
∂D
1
hz −y|N
z
i
|z −y|
n
dS
z
= S
1
lim
D
1
→x
1
V (D
1
)
Z
D
1
f(y) dy = S
1
· f(x) .
Изменение порядков интегрирования оправдывается теоремой Фубини и равномерной
сходимостью несобственных интегралов.
Остается заметить, что поле Ньютона является потенциальным. Действительно, если
ϕ
0
=
1
r
n−1
, то при n > 2
ϕ = −
1
(n −2)r
n−2
и grad ϕ =
r
r
n
,
откуда
U(x) = −
1
n −2
Z
D
f(y) dy
|x −y|
n−2
является (в силу теоремы о дифференцировании несобственного интеграла по параметру)
потенциалом поля Ньютона F. В случае n = 2 получим ϕ = ln r и потенциал равен
U(x) =
Z
D
ln |x − y|f(y) dy .
Таким образом, поле Ньютона вне области D является гармоническим полем. В об-
ласти D оно дает частное решение задачи о построении потенциального поля с заданной

Страницы