Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 224 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 224 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Поскольку полученный результат не зависит от выбора начала координат, заключаем,
что при x 6= x
0
div
x −x
0
|x − x
0
|
n
= 0 . (14.9)
Определение 14.12. Поле F вида
F(x) =
Z
D
(x − y)
|x − y|
n
f(y) dy ,
где D — замкнутая (жорданова) область в R
n
, называется полем Ньютона.
В силу (14.9)
x /∈ D ⇒ div F(x) = 0 .
Пусть теперь y ∈ D
2
⊂ D
1
и D = D
1
r D
2
. Тогда ∂D = ∂D
1
∪ ∂D
1
и по теореме
Остроградского–Гаусса
0 =
Z
D
div
z
(z − y)
|z − y|
n
dz =
Z
∂D
1
hz − y|N
z
i
|z − y|
n
dS
z
−
Z
∂D
2
hz − y|N
z
i
|z − y|
n
dS
z
,
здесь индекс z указывает на то, в отношении каких переменных ведется дифферен-
цирование или интегрирование, а вектор N
z
считается вектором внешней нормали по
отношению к областям D
1
или D
2
. Выберем в качестве D
2
шар радиуса ε с центром в
точке y, в этом случае hz − y|N
z
i = |z − y| = ε и тогда
Z
∂D
1
hz − y|N
z
i
|z − y|
n
dS
z
=
1
ε
n−1
Z
∂D
2
dS =
1
ε
n−1
· ε
n−1
S
1
= S
1
,
здесь S
1
— площадь поверхности единичного шара в R
n
. Таким образом,
Z
∂D
1
hz − y|N
z
i
|z − y|
n
dS
z
=
(
0 , y /∈ D
1
,
S
1
, y ∈ D
1
r ∂D
1
.
(14.10)

Страницы