Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 222 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
и тогда
rot (ϕ(r)r) = ∇ ×(ϕr) = ∇ϕ × r + ϕ∇ × r = 0 .
Найдем потенциал этого поля
19
:
U = J[ϕ(r)(xdx+ydy+zdz)] =
1
Z
0
ϕ(tr)(tx·x+ty·y+tz·z) dt =
1
Z
0
ϕ(tr)tr
2
dt =
r
Z
0
ϕ(s)s ds .
Определение 14.11. Поле F называется соленоидальным, если div F = 0.
Примером соленоидального поля является поле ротора (так как дивергенция ротора
равна нулю). В условиях теоремы Пуанкаре любое соленоидальное поле является полем
ротора. Действительно, пусть div F = 0. Тогда
d(FyΩ) = div F ·Ω = 0
и по теореме Пуанкаре существует 1-форма α такая, что dα = FyΩ. По определению
ротора вектор F является ротором векторного поля A, дуального форме α : F = rot A.
Поле A называется векторным потенциалом поля F. Форма α может быть построена
оператором гомотопии: α = J(FyΩ).
Задачи (14.5) и (14.6) можно охарактеризовать как задачу построения потенциального
поля с заданной дивергенцией и задачу построения соленоидального поля с заданным
ротором, соответственно. Если Y
0
и Z
0
являются, соответственно, решениями этих задач,
то в силу линейности операций дифференцирования заключаем, что поле X
0
= Y
0
+ Z
0
является решением исходной задачи (14.4). Нетрудно описать произвол в решении. Если
X любое другое решение (14.4), то поле H = X − X
0
является решением задачи
(
div H = 0 ,
rot H = 0 .
(14.7)
19
то же самое можно получить без привлечения оператора гомотопии, заметив, что rdr = xdx + ydy + zdz
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- …
- следующая ›
- последняя »
