Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 220 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
14.5. О восстановлении поля по его ротору и дивергенции
14.5.1. Сведение к уравнению Пуассона
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в частных производных вида
(
div X = b ,
rot X = B ,
(14.4)
где b и B — заданные непрерывные функции переменных x, y, z и X — искомое поле.
Согласно определения ротора
rot XyΩ = dX ,
где Ω = dx ∧dy ∧dz и X — 1-форма, дуальная к вектору X. В силу замкнутости точных
форм приходим к следующему условию разрешимости системы
d(ByΩ) = 0 .
Если оно выполнено, то по теореме Пуанкаре 12.1 (в случае звездной области) существует
1-форма α такая, что dα = ByΩ. Форму α можно построить при помощи оператора
гомотопии, см. стр. 177, мы положим α
0
= J(ByΩ). Тогда в общем случае форма α (а в
частном — форма X) имеет вид α = α
0
+ df, где f — произвольная дважды непрерывно
дифференцируемая функция. Если обозначить через A векторное поле, дуальное форме
α
0
, то для вектора X получим представление
X = A + grad f .
Ввиду div grad f = 4f, функция f должна быть фиксирована как решение уравнения
Пуассона
4f = b −div A .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
