Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 219 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
14.4.3. Формула Стокса
Пусть F — гладкое векторное поле в R
3
и D — ориентированная двумерная поверх-
ность с границей ∂D, ориентированной согласованно, т.е. так, что касательный вектор τ ,
определяющий ориентацию границы ∂D, совместно с вектором внутренней нормали n к
границе определяют (в данном порядке) ориентацию поверхности D. Тогда
Z
D
hrot F|SidS =
Z
∂D
hF|τi, (14.3)
где S = τ × n — вектор единичной нормали к поверхности D, согласованный с ори-
ентациями на D и ∂D. Эту формулу читают так: поток ротора через ориентированную
поверхность D равен циркуляции векторного поля по краю поверхности.
Для доказательства напишем общую формулу Стокса с дифференциальной формой
ω = F
x
dx + F
y
dy + F
z
dz, дуальной полю F = (F
x
, F
y
, F
z
), при этом (rot F)yΩ = dω, где
Ω = dx ∧dy ∧ dz. С учетом формулы (13.6)
Z
D
hrot F|SidS =
Z
D
(rot F)yΩ =
Z
D
dω =
Z
∂D
ω =
Z
∂D
hF|τi.
Следует опять дать пояснения по поводу согласования ориентаций. Как мы знаем, векторы
S, τ, n определяют стандартную ориентацию пространства R
3
, см. (13.4). Но тогда в силу
их ортонормированности и определения векторного произведения имеем S = τ × n.
Как и в случае с дивергенцией можно найти следующую формулу для ротора
hrot F(x)|Si = lim
D→x
R
∂D
hF|τi
S(D)
,
где S(D) — площадь стягивающейся поверхности D с нормальным вектором S в точке
x.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- …
- следующая ›
- последняя »
