Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 221 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
14.5.2. Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля
Наряду с системой (14.4) рассмотрим две вспомогательные задачи:
(
div Y = b ,
rot Y = 0
(14.5)
и
(
div Z = 0 ,
rot Z = B .
(14.6)
Определение 14.10. Поле F называется потенциальным, если rot F = 0.
Примером потенциального поля является поле градиента (ротор градиента равен ну-
лю). В случае звездных областей (или, более общо, стягивающихся в точку) любое по-
тенциальное поле является полем градиента. Действительно, если rot F = 0, и обозначая
через F 1-форму, дуальную вектору F, получим
dF = rot FyΩ = 0 ,
откуда по теореме Пуанкаре существует 0-форма (т.е. функция) U такая, что dU = F
и, следовательно, F = grad U. Функцию U можно построить оператором гомотопии:
U = J(F ). Она называется потенциалом поля F. Разумеется, потенциал определен не
однозначно, а с точностью до константы.
Пример. Положим r = (x, y, z) и r = |r| =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
и рассмотрим поле вида
F = ϕ(r)r ,
называемое центрально симметричным. Функцию ϕ будем считать непрерывно диффе-
ренцируемой. Заметим, что grad r =
r
r
и rot r = 0, следовательно
grad ϕ(r) = ∇ϕ = ϕ
0
∇r = ϕ
0
(r)
r
r
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- …
- следующая ›
- последняя »
