Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 227 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 227 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
дивергенцией. Именно, потенциальное поле Y, с дивергенцией div Y = b с точностью до
гармонического слагаемого имеет вид
Y(x) =
1
S
1
Z
D
x −y
|x − y|
n
b(y) dy , x ∈ D .
Потенциал этого поля
U(x) =
−
1
S
1
(n − 2)
Z
D
b(y)
|x − y|
n−2
dy , (n > 2)
1
S
1
Z
D
ln |x − y|b(y) dy , (n = 2)
при x ∈ D дает частное решение уравнения Пуассона
4U = b .
Вне области D функция U является гармонической.
В трехмерном случае полученный результат доказывает теорему Гельмгольца о воз-
можности разложения произвольного гладкого векторного поля на потенциальную и со-
леноидальную составляющие: если F — гладкое поле, то решая задачи
(
div Y = div F ,
rot Y = 0
и
(
div Z = 0 ,
rot Z = rot F
(сводя их к уравнениям Пуассона, как это было описано выше), получим требуемое
разложение
F = Y + Z + ГАРМОНИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ .

Страницы