Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 240 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 240 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где r — радиус шара V . Тогда
(x, y) ∈ U × V ⇒ kΦ
x
(y)k 6 kΦ
x
(y)k + kΦ
x
(y) − Φ
x
(0)k 6
r
2
+
kyk
2
6 r .
Таким образом, Φ
x
при x ∈ U является сжимающим отображением V → V . По
теореме о сжимающем отображении существует и единственна неподвижная точка y
этого отображения. Существование функции g доказано. Ее непрерывность является
следствием непрерывности функции Φ
x
(y) (как функции двух переменных): полагая
y
i
= g(x
i
) , i = 1, 2, находим
ky
2
− y
1
k = kΦ
x
2
(y
2
) − Φ
x
1
(y
1
)k 6 kΦ
x
2
(y
2
) − Φ
x
1
(y
2
)k + kΦ
x
1
(y
2
) − Φ
x
1
(y
1
)k
6 kΦ
x
2
(y
2
) − Φ
x
1
(y
2
)k +
1
2
ky
2
− y
2
k,
откуда
ky
2
− y
1
k 6 2kΦ
x
2
(y
2
) − Φ
x
1
(y
2
)k →
kx
2
−x
1
k→0
0 .

Страницы