Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 239 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 239 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
C. Теорема о неявной функции
Теорема C.1. Пусть f : D → R
n
— непрерывная функция на открытом множестве
D ⊂ R
k
× R
n
, имеющая непрерывную частную производную
∂f(x, y)
∂y
, обратимую в
точке x = a, y = b
20
. Тогда существует окрестность U ×V ⊂ D точки (a, b) такая,
что
∀x ∈ U ∃!y ∈ V : f(x, y) = c , c = f(a, b) .
Так определенная функция g : x 7→ y = g(x) является непрерывной.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что a = 0, b = 0, c = 0 и
∂f(0, 0)
∂y
= I. Положим Φ
x
(y) = y −f(x, y). Уравнение f(x, y) = c запишется в виде
Φ
x
(y) = y .
Заметим, что
∂
∂y
Φ
0
(0) = 0. Используя непрерывность производной функции Φ, найдем
шары U
1
и V с центрами в нуле такие, чтобы
(x, y) ∈ U
1
× V ⇒ k
∂
∂y
Φ
x
(y)k 6
1
2
.
Тогда по теореме Лагранжа
(x, y) ∈ U
1
× V ⇒ kΦ
x
(y
2
) − Φ
x
(y
1
)k 6
1
2
ky
2
− y
1
k,
т.е. отображение Φ
x
является сжимающим. Пользуясь непрерывностью функции Φ най-
дем окрестность U ⊂ U
1
такую, что
x ∈ U ⇒ kΦ
x
(0)k 6
r
2
,
20
т.е. rank
∂f
∂y
(x,y)=(a,b)
= n

Страницы