Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 237 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 237 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
B. Метод сжимающих отображений
Пусть X — метрическое пространство, т.е. некоторое множество, на котором задана
функция расстояния d : X
2
→ [0, ∞), т.е. функция, удовлетворяющая следующим
свойствам:
1. d(P, Q) = d(Q, P) (∀P, Q ∈ X),
2. d(P, Q) 6 d(P, Q) + d(Q, R) (∀P, Q, R ∈ X),
3. d(P, Q) = 0 ⇐⇒ P = Q.
Эти условия называются, соответственно, симметричностью, неравенством треуголь-
ника и невырожденностью.
В качестве простого примера метрического пространства можно назвать любое мно-
жество X в R
n
с функцией расстояния d(x, y) = kx − yk.
Определение B.1. Отображение Φ : X → X называется сжимающим, если
d(Φ(P ), Φ(Q)) 6 λ · d(P, Q) ,
где P, Q — произвольны, а λ < 1.
Теорема B.2. Пусть Φ — сжимающее отображение. Если X обладает тем свойством,
что
d(P
n
, P
m
) →
n,m→∞
0 ⇒ ∃P : P
n
→ P
(так называемая полнота пространства), то
∃!P : Φ(P ) = P .
т.е. сжимающее отображение имеет и при том единственную неподвижную точку.

Страницы