Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 236 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 236 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
A ⊂ R
n
, равномерно непрерывна на нем, т.е.
∀ε > 0 ∃δ > 0 : |P Q| < δ ⇒ |f(P ) −f(Q)| < ε ,
(P, Q ∈ A).
Доказательство. Фиксируем ε > 0. В силу непрерывности функции f
∀P ∈ A ∃δ(P ) > 0 : |QP | < δ(P ) ⇒ |f(P ) − f (Q)| <
ε
2
.
Обозначим через B
r
(P ) открытый шар радиуса r с центром в точке P . Положим
2r(P ) = δ(P ). Шары B
r(P )
(P ) покрывают A, когда точка P пробегает множество A.
В силу компактности множество A будет покрываться каким-то конечным набором ша-
ров B
r
1
(P
1
), . . . B
r
k
(P
k
), где r
j
= r(P
j
). Положим δ = min{r
1
, . . . r
k
}. Пусть |Q
1
, Q
2
| < δ.
Предположим, для определенности, что Q
1
∈ B
r
1
(P
1
). Тогда
|P
1
Q
2
| 6 |P
1
Q
1
| + |Q
1
Q
2
| < r
1
+ δ 6 δ(P
1
) ,
откуда
|f(Q
2
) − f(Q
1
)| 6 |f(Q
2
) − f(P
1
)| + |f(P
1
) − f(Q
1
)| <
ε
2
+
ε
2
= ε .

Страницы