Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 234 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 234 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Согласно теории Кантора–Дедекинда существуют и равны пределы:
c
j
= lim
k→∞
a
j
(k) = lim
k→∞
b
j
(k) .
Это означает, что
∞
\
k=1
C
k
= {P }, P = (c
1
, . . . c
n
) .
Точка P содержится хотя бы в одном из открытых множеств рассматриваемого покрытия
куба C, обозначим это множество через G. Согласно определению открытых множеств,
G будет включать все кубы C
k
с достаточно большими номерами, т.е. все эти кубы будут
покрываться всего одним множеством G данного покрытия, что противоречит правилу
отбора кубов C
k
, согласно которому кубы C
k
не могут быть покрыты никаким конечным
набором множеств из этого покрытия. Полученное противоречие и доказывает лемму
Гейне–Бореля–Лебега.
Теперь утверждение теоремы будет следовать из леммы A.6, поскольку ограниченное
множество (по определению) является подмножеством некоторого куба.
Теорема A.8. Если множества A
k
компактны, не пусты и A
1
⊃ A
2
⊃ . . ., то
∞
\
k=1
A
k
6= ∅ .
Доказательство. Если
∞
\
k=1
A
k
= ∅, то в силу формул де Моргана
R
n
= R
n
r
∞
\
k=1
A
k
=
∞
[
k=1
(R
n
r A
k
) ,

Страницы