Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 233 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 233 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(достаточно взять радиус r строго меньше половины расстояния между точками P и Q).
Фиксируем точку Q, при этом r = r(P ) и шары B
r(P )
(P ) образуют открытое покрытие
множества A. В силу компактности A
A ⊂
k
[
j=1
B
r
j
(P
j
) ,
где r
j
= r(P
j
). Положим r
0
= min{r
1
, . . . r
k
} и заметим, что шар B
r
0
(Q) не пересекается
с шарами B
r
1
(P
1
), . . . B
r
k
(P
k
), в частности, B
r
0
(Q) ∩ A = ∅, т.е. дополнение к A —
открыто и, следовательно, A — замкнуто. Ограниченность A тривиальна:
diam A 6
k
X
j=1
diam B
r
j
(P
j
) = 2(r
1
+ . . . + r
k
) .
⇐
Рассмотрим замкнутый n-мерный куб C и докажем, что он компактен (это утвержде-
ние известно как лемма Гейне–Бореля–Лебега). Предположим, что некоторое открытое
покрытие куба не содержит никакого конечного подпокрытия. Разделим каждое ребро
куба C пополам, куб C разделится на 2
n
одинаковых частей. Хотя бы один из получен-
ных меньших кубов также не будет покрываться никаким конечным набором множеств
из рассматриваемого покрытия куба C. Обозначим этот меньший куб через C
1
и повто-
рим процедуру дробления применительно к кубу C
1
и т.д. Получим последовательность
вложенных кубов C ⊃ C
1
⊃ C
2
⊃ . . . с тем свойством, что ребро каждого следующего
куба вдвое меньше ребра предыдущего. Положим
C
k
= [a
1
(k), b
1
(k)] × . . . × [a
n
(k), b
n
(k)] ,
тогда последовательность a
j
(k) (при каждом фиксированном j , 1 6 j 6 n) возрастает,
последовательность b
j
(k) убывает и
b
j
(k + 1) − a
j
(k + 1) =
b
j
(k) − a
j
(k)
2
.

Страницы