Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 238 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 238 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть P
0
— произвольная точка из X. Построим последовательность
P
1
= Φ(P
0
) , P
2
= Φ(P
1
) , . . . P
n+1
= Φ(P
n
) , . . .
Заметим, что
d(P
n+m
, P
n
) = d(Φ(P
n+m−1
), Φ(P
n−1
)) 6 λ ·d(P
n+m−1
, P
n−1
) 6 . . . 6 λ
n
d(P
m
, P
0
)
6 λ
n
·
d(P
m
, P
m−1
) + d(P
m−1
, P
m−2
) + . . . + d(P
1
, P
0
)
6 λ
n
·
λ
m−1
· d(P
1
, P
0
) + λ
m−2
· d(P
1
, P
0
) + . . . + d(P
1
, P
0
)
6
λ
n
1 − λ
· d(P
1
, P
0
) →
n→∞
0 .
В силу полноты, существует предельная точка P = lim P
n
. В силу непрерывности
сжимающего отображения lim Φ(P
n
) = Φ(P ). Тогда, переходя к пределу в равенстве
P
n+1
= Φ(P
n
), получаем P = Φ(P ). Существование неподвижной точки доказано. Един-
ственность элементарна:
Q = Φ(Q) , P = Φ(P ) ⇒ d(P, Q) = d(Φ(P ), Φ(Q)) 6 λ · d(P, Q) ⇒ P = Q .

Страницы