Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 95 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда при n > N
Z
A
f −
Z
A
f
n
6
Z
A
|f −f
n
| 6 εV (A) .
Теорема 7.3. Пусть
∂f(x, t)
∂t
равномерно непрерывна на A × T , где A — жорданово и
T — интервал. Тогда функция
g(t) =
Z
A
f(x, t) dx
непрерывно дифференцируема на T и
g
0
(t) =
Z
A
∂f(x, t)
∂t
dx .
Доказательство. В согласии с формулой Лагранжа (о конечных приращениях) и теоре-
мой 7.1
g(t + ∆t) − g(t)
∆t
=
Z
A
f(x, t + ∆t) − f(x, t)
∆t
dx =
Z
A
∂f(x, t + θ∆t)
∂t
dx →
∆t→0
Z
A
∂f(x, t)
∂t
dx ,
здесь 0 < θ < 1.
Эти теоремы можно обобщить и на несобственные интегралы, если в условие каждой
из теорем включить требование равномерной сходимости интеграла
7
. Несобственный
интеграл
Z
G
f(x, τ) dx ,
7
в случае последней теоремы равномерную сходимость надо требовать для интеграла от производной

Страницы