Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 94 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
7. Предельный переход под знаком интеграла
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 7.1. Пусть функция f(x, y) равномерно непрерывна на множестве A × B ⊂
R
n
× R
m
, где A — жорданово. Тогда функция
g(y) =
Z
A
f(x, y) dy
равномерно непрерывна на B.
Доказательство. Фиксируем ε > 0 и пусть δ определено импликацией
|(x
2
, y
2
) −(x
1
, y
1
)| 6 δ ⇒ |f(x
2
, y
2
) − f(x
1
, y
1
)| 6 ε .
Тогда
|y
2
− y
1
| 6 δ ⇒ |g(y
2
) − g(y
1
)| 6
Z
A
|f(x, y
2
) − f(x, y
1
)|dx 6 εV (A) .
Теорема 7.2. Пусть последовательность непрерывных функций f
n
равномерно на
жордановом множестве A сходится к функции f. Тогда
Z
A
f
n
→
Z
A
f .
Доказательство. Равномерная сходимость означает, что
∀ε > 0 ∃N : n > N ⇒ |f(x) −f
n
(x)| 6 ε (∀x ∈ A).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- …
- следующая ›
- последняя »
