Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 92 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Тогда
Z
R
n
e
−|x|
2
dx = (
√
π)
n
.
Последняя формула позволяет вычислить объем n-мерного шара B
1
. Действительно, как
мы знаем,
V (B
1
) =
1
n
Z
S
1
dσ .
С другой стороны,
π
n
2
=
Z
R
n
e
−|x|
2
dx =
∞
Z
0
e
−r
2
r
n−1
dr
Z
S
1
dσ =
1
2
∞
Z
0
e
−t
t
n−2
2
dt
Z
S
1
dσ =
1
2
Γ
n
2
Z
S
1
dσ ,
где
Γ(x) =
∞
Z
0
e
−t
t
x−1
dt
— гамма-функция Эйлера. Отсюда заключаем, что
V (B
1
) =
π
n
2
n
2
Γ
n
2
.
Напомним, что Γ
1
2
=
√
π , Γ(1) = 1 , Γ(x + 1) = xΓ(x). В частности, V (B
1
) = π при
n = 2 и V (B
1
) =
4
3
π при n = 3.
Вернемся к общему случаю интеграла Пуассона. Пусть a
1
, . . . a
n
— базис орто-
нормированных собственных векторов матрицы A, отвечающих собственным значени-
ям α
1
, . . . α
n
и T — матрица, составленная из собственных векторов-столбцов T =
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- …
- следующая ›
- последняя »
