Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 90 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть ε > 0 и множество F выбрано согласно теореме 6.5:
F ⊂ A ⊂ G ⇒
Z
G
f −
Z
A
f
6 ε .
В силу включения F ⊂
∞
[
k=1
◦
A
k
и компактности F уже конечное семейство множеств
◦
A
k
покрывает множество F : F ⊂
m
[
k=1
◦
A
k
=
◦
A
m
. Тогда
k > m ⇒
Z
G
f −
Z
A
k
f
6 ε ,
т.е.
R
A
k
f →
R
G
f .
Примеры.
1) Пусть B
R
— замкнутый шар в R
n
радиуса R с центром в нуле и G = R
n
r B
1
.
Рассмотрим на G функцию f(x) =
1
|x|
p
и интеграл от нее. Аппроксимативной после-
довательностью является последовательность множеств A
R
= B
R
r B
1
при R → ∞. В
сферических координатах, см. стр. 80,
Z
A
R
f =
R
Z
1
1
r
p
r
n−1
dr
Z
S
1
dσ = C
n
R
n−p
− 1
n −p
, C
n
=
Z
S
1
dσ .
Сходимость несобственного интеграла будет иметь место при n < p, при этом
Z
G
dx
1
. . . dx
n
|x|
p
=
C
n
p − n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
