Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 11 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Задача свелась к выбору функции v = v(u) так, чтобы интеграл (1.12) имел наи-
меньшее возможное значение.
Ограничение на явное задание кривой (1.11) опять может быть снято переходом
к параметрическому заданию
u = u(t) ,
v = v(t) ,
t ∈ [t
1
, t
2
] ,
(
u
1
= u(t
1
) , v
1
= v(t
1
) ,
u
2
= u(t
2
) , v
2
= v(t
2
) .
(1.13)
1.2. Задача о брахистохроне
Замечание 1.1. βραχιστ oς — кратчайший, χρoνoς — время.
Это та задача, которой вариационное исчисление обязано своим появлением на
свет. Считается, что в июне 1696 года Йоган Бернулли перед своими учениками по-
ставил следующую задачу: “Даны две точки A и B в вертикальной плоскости; найти
для движущийся частицы M путь AMB, опускаясь вдоль которого под действием
силы тяжести, начиная, для определенности, от точки A она может в кратчайшее
время достичь точки B”.
Мы предположим, что точки A и B лежат в плоскости xy с осью y, направленной
вниз, см. рис. 2. Положим A = A(x
1
, y
1
) и B = B(x
2
, y
2
) и пусть y = y(x) —
уравнение дуги, соединяющей точки A и B так, что
x
1
< x
2
, y
1
= y(x
1
) , y
2
= y(x
2
) , y
1
< y
2
.
Скорость движения вдоль кривой пусть равна v =
ds
dt
. Тогда время спуска равно
I =
x=x
2
Z
x=x
1
ds
v
=
x
2
Z
x
1
p
1 + y
02
v
dx .

Страницы