Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 13 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохра-
нения энергии:
mv
2
2
−
mv
2
1
2
= mgy − mgy
1
,
где v
1
— начальная скорость движения частицы. Тогда
v =
p
2g(y − y
0
) , y
0
= y
1
−
v
2
1
2g
,
и задача свелась к выбору функции y(x), для которой интеграл
I =
1
√
2g
x
2
Z
x
1
p
1 + y
02
√
y − y
0
dx (1.14)
достигает наименьшего значения из всех возможных.
1.3. Задача о наименьшей поверхности вращения
1.3.1. Катеноид
Даны две точки P
1
(x
1
, y
1
) , P
2
(x
2
, y
2
) плоскости xy, пусть x
1
< x
2
. Пусть далее
y = y(x) — уравнение кривой, соединяющей точки P
1
и P
2
, т.е.
y
1
= y(x
1
) , y
2
= y(x
2
) .
Кривая вращается вокруг оси x, заметая некоторую поверхность вращения. Спра-
шивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую
возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции
y(x), для которой интеграл
S = 2π
x
2
Z
x
1
y
p
1 + y
02
dx . (1.15)

Страницы