Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 158 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
которые могут быть проинтегрированы следующим способом. Введем параметр α,
составим обыкновенные дифференциальные уравнения
M(x, S
0
x
) = α , N(y, S
0
y
) = −α ,
и проинтегрируем их, разрешая относительно производных S
0
x
и S
0
y
, соответственно.
Полученное решение будет иметь вид
S = S
1
(x, α) + S
2
(y, α) + S
0
.
В рассматриваемом случае положим
S
0
x
= α , S
0
y
=
p
1 − α
2
.
При этом
S
1
= αx , S
2
=
p
1 − α
2
· y ,
откуда
S = αx +
p
1 − α
2
· y + S
0
.
Экстремали, согласно теореме Якоби, будут находиться из равенства
x −
αy
√
1 − α
2
= β .
Например, экстремали, проходящие через начало координат, это прямые
y =
√
1 − α
2
α
· x .
Напомним, что интеграл Гильберта, взятый вдоль экстремали, совпадает со значе-
нием исходного функционала для этой экстремали. В этом случае для экстремали,
соединяющей начало координат с точкой (x, y), находим
α =
x
p
x
2
+ y
2
,
p
1 − α
2
=
y
p
x
2
+ y
2
,

Страницы