Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 156 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Запишем уравнение Гамильтона–Якоби в виде
S
0
x
+ H = 0 , H = H(x, y, p) , p = S
0
y
,
и продифференцируем его по параметру α:
S
00
αx
+ H
0
p
· S
00
αy
= 0 .
Продифференцируем, также, по x тождество (
8.35), заменяя y на y(x):
S
00
xα
+ S
00
y α
y
0
= 0 .
Сопоставление этих равенств ввиду (8.34) и независимости дифференцирования от
порядка приходим к равенству
y
0
= H
0
p
. (8.36)
Аналогично, продифференцируем уравнение Гамильтона–Якоби по переменной y:
S
00
y x
+ H
0
y
+ H
0
p
· S
00
y y
= 0 ,
а равенство p = S
0
y
, где y = y(x), — по x:
p
0
= S
00
xy
+ S
00
y y
y
0
.
Эти равенства совместно с (
8.36) ведут к
p
0
= −H
0
y
.
Таким образом, функции y(x) и p(x) являются решением канонической системы
dy
dx
=
∂H
∂p
,
dp
dx
= −
∂H
∂y
,
и значит функция y(x) является экстремалью, см. пункт 8.2.

Страницы