Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 155 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 155 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
не будет зависеть от пути интегрирования. Действительно, в силу уравнения
Гамильтона–Якоби и определения функции Гамильтона
[F (x, y, z)−zF
0
z
(x, y, z)] dx+F
0
z
(x, y, z) dy = −Hdx+p dy =
∂S
∂x
dx+
∂S
∂y
dy = dS(x, y) .
Более того, имеет место следующее утверждение.
Теорема 8.26 (Теорема Якоби). Пусть функция Лагранжа F для интегрального
функционала
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx
является дважды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет условию ре-
гулярности
∂
2
F
∂y
02
6= 0 .
Пусть, далее, функция S(x, y, α) является дважды непрерывно дифференцируе-
мой,
∂
2
S
∂y∂α
6= 0 , (8.34)
и при каждом значении параметра α удовлетворяет уравнению Гамильтона–
Якоби
∂S
∂x
+ H
x, y,
∂S
∂y
= 0 .
Тогда любая непрерывно дифференцируемая функция y(x), удовлетворяющая
уравнению
∂S
∂α
= β (8.35)
при фиксированных значениях α и β, является экстремалью функционала I.

Страницы