Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 153 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
точку, мы получим функцию двух переменных
S(x, y) =
(x,y )
Z
[F (x, y, z) −zF
0
z
(x, y, z)]dx + F
0
z
(x, y, z)dy ,
или, более аккуратно,
S(x, y) =
(x,y )
Z
(x
0
,y
0
)
[F (u, v, z) − zF
0
z
(u, v, z)]du + F
0
z
(u, v, z)dv , (8.32)
где z = z(u, v). Эта функция определена с точностью до постоянной и называется
функцией поля. Кривые, на которых функция поля постоянна, называются транс-
версальными кривыми поля. Название связано с тем фактом, что экстремали поля
пересекаю такие кривые трансверсально:
[F (x, y, z) − zF
0
z
(x, y, z)]dx + F
0
z
(x, y, z)dy = 0 ,
ср. (5.15), имея в виду равенства dy = ϕ
0
dx (т.к. это дифференциалы вдоль транс-
версальных кривых) и z = y
0
(т.к. это функция наклона поля экстремалей).
Найдем производные функции S:
∂S
∂x
= F (x, y, z) − zF
0
z
(x, y, z) ,
∂S
∂y
= F
0
z
(x, y, z) ,
где z = z(x, y). В условиях регулярности (8.4), находим
z = P (x, y, p) , p = F
0
z
(x, y, z) .
При этом в согласии с определением преобразования Лежандра (8.11)
F (x, y, z) − zF
0
z
(x, y, z) = −H(x, y, p) .

Страницы