Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 152 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 152 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Легко видеть, что единственным решением уравнения Якоби с нулевыми граничны-
ми условиями
η(0) = η(b) = 0
является только тривиальное η ≡ 0, т.е. на экстремали y = ch x нет точек, сопря-
женных с начальной точкой. Это завершает проверку достаточных условий слабого
минимума.
Нетрудно, однако, заметить, что производная F
00
y
0
y
0
в данном случае положитель-
на не только на экстремале y = ch x, но при всех значениях аргументов в области
y > 0:
F
00
y
0
y
0
=
y
(1 + y
02
)
3
2
.
Как следствие, выполнены достаточные условия и для сильного минимума (функция
Вейерштрасса E(x, y, u, v) положительна при y > 0, см. (8.31)).
8.10. Уравнение Гамильтона–Якоби
Вернемся к интегралу Гильберта (8.15)
U{γ} =
Z
γ
[F (x, y, z) − zF
0
z
(x, y, z)]dx + F
0
z
(x, y, z)dy ,
образованному для функции наклона z = z(x, y) поля экстремалей функционала
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx .
Как мы знаем, этот интеграл не зависит от формы кривой γ, а только от начала и
конца интегрирования. Фиксировав начальную точку кривой γ и меняя ее конечную

Страницы