Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 154 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 154 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Таким образом,
∂S
∂x
= −H(x, y, p) ,
∂S
∂y
= p ,
т.е. функция поля S = S(x, y) удовлетворяет следующему уравнению в частных
производных
∂S
∂x
+ H
x, y,
∂S
∂y
= 0 . (8.33)
Оно называется уравнением Гамильтона–Якоби. При этом в канонических пере-
менных, см. пункт 8.2,
S(x, y) =
(x,y )
Z
p dy −Hdx ,
где p и H следует рассматривать как сложные функции переменных x, y, определен-
ные равенствами
H = H(x, y, p) = zp − F (x, y, z) ,
p = F
0
z
(x, y, z) ,
z = z(x, y) .
Заметим, что если через S(x, y) обозначить произвольное решение уравнения
Гамильтона–Якоби (8.33), то в условиях регулярности мы можем определить функ-
цию наклона z(x, y) некоторого поля направлений
z = P (x, y, p) , p =
∂S
∂y
,
где функция P определяется неявно равенством p = F
0
z
(x, y, z). При этом интеграл
Гильберта, составленный по функции наклона z(x, y)
U{γ, z} =
Z
γ
[F (x, y, z) − zF
0
z
(x, y, z)]dx + F
0
z
(x, y, z)dy ,

Страницы