Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 157 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Отметим, что теорема Якоби позволяет построить двухпараметрическое семей-
ство экстремалей
y = y(x, α, β) ,
где α и β те же, что и в равенстве (8.35).
В качестве примера рассмотрим функционал длины
I =
x
2
Z
x
1
p
1 + y
02
dx .
Тогда
F (x, y, z) =
p
1 + z
2
, p = F
0
z
=
z
√
1 + z
2
,
и, следовательно,
z = P (x, y, p) =
p
p
1 − p
2
.
Далее находим функцию Гамильтона
H(x, y, p) = pz − F =
p
2
p
1 − p
2
−
s
1 +
p
2
1 − p
2
= −
p
1 − p
2
,
и составляем уравнение Гамильтона–Якоби
S
0
x
−
q
1 − S
02
y
= 0
или
S
02
x
+ S
02
y
= 1 .
Это уравнение в частных производных относится к типу уравнений
M(x, S
0
x
) + N(y, S
0
y
) = 0 ,

Страницы