Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 6 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
1. Постановка некоторых вариационных задач
Чтобы получить представление о вариационных задачах, рассмотрим некоторые из
них.
1.1. Отыскание геодезических
1.1.1. На плоскости
Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наимень-
шей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости?
Для математической формулировки фиксируем две точки P
1
(x
1
, y
1
) и P
2
(x
2
, y
2
)
на плоскости xy, считая x
1
< x
2
, и рассмотрим гладкую кривую
y = y(x) , x ∈ [x
1
, x
2
] ,
(
y
1
= y(x
1
) ,
y
2
= y(x
2
) ,
(1.1)
соединяющей точки P
1
и P
2
. Длина дуги кривой (1.1), как хорошо известно, равна
I =
x
2
Z
x
1
p
1 + y
02
dx . (1.2)
Задача сводится к выбору функции y(x) так, чтобы интеграл (1.2) был наименьшим
из возможных.
В постановке задачи мы наложили дополнительное ограничение (1.1), выражаю-
щееся в том, что y является однозначной функцией x. Это ограничение может быть
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
