Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 94 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
7. Первое необходимое условие экстремума
7.1. Замечание о достаточных условиях
Мы хотим в дальнейшем немного коснуться вопроса о достаточных условиях. Общее
положение здесь такое. В отличии от одномерного случая условия
I
00
(0) > 0
на стационарной точке не достаточно для существования минимума. Напомним, как
решался вопрос о достаточных условиях минимума в случае функций нескольких
переменных. Если функция f(x) , x ∈ R
n
, дважды дифференцируема, то
f(x + h) = f(x) + f
0
(x)h +
1
2
f
00
(x)h
2
+ o(|h|
2
) ,
где
f
0
(x)h = hl|hi,
l — градиент функции f в точке x и
f
00
(x)h
2
= hHh|hi,
H — матрица Гесса (матрица вторых частных производных) в точке x. Если точка
x стационарна (т.е. l = 0), а матрица Гесса положительно определена, т.е.
∀h : hHh|hi > α|h|
2
, α > 0 ,
то
f(x + h) − f(x) > (α − ε)|h|
2
,
где ε можно сделать сколь угодно малым, в частности, меньше чем α, если h доста-
точно мало.

Страницы