Составители:
Рубрика:
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 96 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
7.2. Первое необходимое условие
Вернемся к анализу первой вариации интегрального функционала I,
I =
x
2
Z
x
1
F (x, y, y
0
) dx . (7.1)
Расширим несколько класс допустимых кривых, считая, что функция y(x) являет-
ся непрерывной и кусочно гладкой (кусочно непрерывно дифференцируемой), т.е.
кривая y = y(x) может иметь угловые точки. Функцию F (x, y, z) можно вначале
считать просто непрерывно дифференцируемой. Заметим, что хотя функция y
0
яв-
ляется разрывной в угловых точках, интеграл I существует как интеграл Римана.
Что в этом случае можно сказать о функции y(x), на которой функционал I
достигает наименьшего значения?
Как и ранее, фиксируем вариацию функции y, в данном случае — непрерывную,
кусочно гладкую функцию η, обращающуюся в ноль на концах интервала [x
1
, x
2
],
— и составим интеграл
I(t) =
x
2
Z
x
1
F (x, y + tη, y
0
+ tη
0
) dx .
Функция I(t) при t = 0 достигает минимума. Как следствие,
I
0
(0) = 0 ,
где как и ранее
I
0
(0) =
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
η +
∂F
∂y
0
η
0
dx . (7.2)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- …
- следующая ›
- последняя »
