Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 97 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 97 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теперь, однако, в отличие от ранее проведенной процедуры, мы будем интегри-
ровать по частям не во втором, а в первом слагаемом! Введем функцию
Φ(x) =
x
Z
x
1
∂F
∂y
dx ≡
x
Z
x
1
F
0
y
(u, y(u), y
0
(u)) du , (7.3)
тогда
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
η dx =
x
2
Z
x
1
η(x) dΦ(x) = ηΦ
x
2
x
1
−
x
2
Z
x
1
Φη
0
dx ,
откуда, в силу нулевых граничных условия для функции η, находим
I
0
(0) =
x
2
Z
x
1
∂F
∂y
0
− Φ
η
0
dx = 0 . (7.4)
Теперь мы можем применить лемму Дюбуа-Реймона 2.2 и получить уравнение
∂F
∂y
0
−
x
Z
x
1
∂F
∂y
dx = C , C = Const . (7.5)
Мы назовем его первым необходимым условием.
Из этого уравнения вытекают три следствия.
Следствие 7.1 (Уравнение Эйлера). На каждой части минимизирующей кривой
y(x), лежащей между двумя соседними угловыми точками, функция
∂F
∂y
0

Страницы