Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 99 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
в частности, в задаче о брахистохроне. Действительно, в этом случае
∂F
∂y
0
= H ·
y
0
p
1 + y
02
,
что в силу условия Вейерштрасса–Эрдмана (и непрерывности H) ведет к равенству
y
0
(x − 0)
p
1 + y
02
(x − 0)
=
y
0
(x + 0)
p
1 + y
02
(x + 0)
.
Но функция
x
√
1 + x
2
является строго возрастающей:
x
√
1 + x
2
0
=
1
(1 + x
2
)
3/2
> 0 .
Это влечет ее обратимость и, как следствие, равенство
y
0
(x − 0) = y
0
(x + 0) ,
т.е. непрерывную дифференцируемость функции y(x).
Следствие 7.3 (Условие Гильберта). Если функция F — дважды непрерывно диф-
ференцируема, то за исключением угловых точек и точек, где
∂
2
F
∂y
02
= 0 ,
минимизирующая функция y(x) также дважды непрерывно дифференцируема.
Более того, если функция F непрерывно дифференцируема n раз, то функция y
также непрерывно дифференцируема n раз.

Страницы