Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 100 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Фиксируем неугловую точку (x
0
, y(x
0
)) минимизирующей функ-
ции y = y(x). Заметим, что в окрестности точки x
0
функция y
0
(x) непрерывна.
Положим
G(x, y, z) =
∂F
∂z
− Φ(x) − C , F = F (x, y, z) ,
где функция Φ определена в (7.3), и пусть
H(x, u) = G(x, y(x), z) , (7.6)
где y(x) — минимизирующая функция. В силу двукратной дифференцируемости
функции F (в окрестности неугловой точки) функция H — непрерывно дифферен-
цируема. Если теперь
∂H
∂z
6= 0
в окрестности точки некоторой точки (x
0
, z
0
), уравнение
H(x, z) = 0 ,
по теореме о неявной функции, в окрестности точки x
0
однозначно определяет функ-
цию
z = z(x) ,
такую, что z(x
0
) = z
0
, причем z(x) — непрерывно дифференцируема в окрестности
точки x
0
. Напомним, что производная функции z может быть вычислена по формуле
dz
dx
= z
1
, z
1
= −
∂H
∂x
∂H
∂z
, (7.7)
которая описывает функцию z
0
как сложную
z
0
= z
1
(x, z) , z = z(x) .

Страницы