Вариационное исчисление. Будылин А.М. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 101 из 197
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Остается заметить, что
∂H
∂z
=
∂
2
F
∂z
2
и функция z = y
0
(x) является, в силу (7.5), решением уравнения
H(x, z) = 0 ,
в частности — в окрестности точки (x
0
, y
0
(x
0
)) . Если в точке (x
0
, y(x
0
), y
0
(x
0
))
выполнено условие
∂
2
F
∂y
02
6= 0 ,
то заключаем, что функция z = y
0
(x) является как раз той однозначно определенной
непрерывно дифференцируемой функцией, существование которой гарантируется те-
оремой о неявной функции. Но это в точности означает двукратную непрерывную
дифференцируемость функции y(x).
Если теперь функция F допускает трехкратное непрерывное дифференцирова-
ние, то функция H (7.6), в силу уже доказанной двукратной дифференцируемости
функции y, — дважды непрерывно дифференцируема. Как следствие, функция z
1
непрерывно дифференцируема и в силу формулы (7.7), получим
d
2
z
dx
2
=
∂z
1
∂x
+
∂z
1
∂z
·
dz
dx
,
что доказывает трехкратную непрерывную дифференцируемость функции y.
Последнее рассуждение может быть воспроизведено с соответствующими из-
менениями для доказательства четырехкратной непрерывной дифференцируемости
функции y, если функция F является непрерывно дифференцируемой четыре раза,
и т.д.
Замечание 7.4. Условие Гильберта не применимо к угловым точкам, но в условиях
следствия 7.3 функция y
00
имеет односторонние пределы y
00
(x ±0) в угловых точках,

Страницы