Излучение, атомная и ядерная физика. Бугрова А.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

17
∫∫∫
∞
∞
∞
−
=
−
==
00
3
32
443
2
0
0
1
2
1
2
),()(
x
kT
h
e
dxx
hc
Tk
e
d
c
h
dTrTR
πννπ
νν
ν
. (1.26)
Здесь введена безразмерная переменная интегрирования x=h
ν
/kT.
Интеграл в выражении (1.26) − табличный, его значение равно
4π/15, тогда R(T)=
σ
T
4
, где
32
45
15
2
hс
k
π
σ
=
, т.е. постоянная
σ
выра-
жена только через фундаментальные постоянные.
Закон Вина. Сравнивая закон Вина (1.14) и формулу Планка
(1.23), можно видеть, что они совпадают, если в качестве значе-
ния функции F(
ω
/T) выбрать
1
1
4
22
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
kT
e
c
T
F
ω
π
ω
h
h
.
Правило смещения Вина. Если испускательная способность
абсолютно черного тела достигает максимального значения при
λ
=
λ
m
, то производная по
λ
от испускательной способности в вы-
ражении (1.25) должна обращаться в ноль при
λ
=
λ
m
. Взяв про-
изводную по
λ
и введя обозначение
x
kT
hc
m
=
λ
, получаем уравне-
ние
xe
x
−5e
x
+5=0.
Единственное решение этого транцендентного уравнения
x≅4.965, тогда
b
k
hc
T
m
==
965,4
λ
- постоянная Вина.
Формула Рэлея-Джинса. Как упоминалось выше, формула
Рэлея-Джинса хорошо согласуется с экспериментальными дан-
ными для случая больших
температур и малых частот, т.е.
h
ω
<< kT
. Тогда в выражении (1.33) можно записать
kT
e
kT
ω
ω
h
h
+≈ 1 , и значение испускательной способности абсолют-
                                           17
                  ∞
                                      2πh ∞ ν 3 dν       2πk 4T 4   ∞
                                                                        x 3 dx
         R (T ) = ∫ r0 (ν , T )dν =        ∫   hν
                                                     =              ∫            . (1.26)
                  0                   c2   0              c 2h3        x
                                                                    0 e −1
                                      −1     e kT
Здесь введена безразмерная переменная интегрирования x=hν/kT.
Интеграл в выражении (1.26) − табличный, его значение равно
                                2π 5 k 4
4π/15, тогда R(T)=σT , где σ =
                      4
                                          , т.е. постоянная σ выра-
                                15с 2 h 3
жена только через фундаментальные постоянные.
     Закон Вина. Сравнивая закон Вина (1.14) и формулу Планка
(1.23), можно видеть, что они совпадают, если в качестве значе-
ния функции F(ω/T) выбрать
                         ⎛ω ⎞     h          1
                        F⎜ ⎟ =    2 2 hω
                                                  .
                         ⎝ ⎠ 4π c
                          T
                                         e kT − 1
     Правило смещения Вина. Если испускательная способность
абсолютно черного тела достигает максимального значения при
λ=λm, то производная по λ от испускательной способности в вы-
ражении (1.25) должна обращаться в ноль при λ=λm. Взяв про-
                                        hc
изводную по λ и введя обозначение           = x , получаем уравне-
                                      kTλ m
ние
                             xex−5ex+5=0.
Единственное решение этого транцендентного уравнения
x≅4.965, тогда
                        hc
               λ mT =        = b - постоянная Вина.
                      4,965k
     Формула Рэлея-Джинса. Как упоминалось выше, формула
Рэлея-Джинса хорошо согласуется с экспериментальными дан-
ными для случая больших температур и малых частот, т.е.
hω << kT .     Тогда в выражении (1.33) можно записать
  hω
              hω
e kT   ≈ 1+      , и значение испускательной способности абсолют-
              kT

Страницы