Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 156 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

156
стные производные первого порядка не существуют. Все такие
точки называют критическими.
Достаточное условие локального экстремума
Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности стационарной
точки
),...,(
00
10 n
xxM
функция
),...,(
1 n
xxfz
=
дважды диффе-
ренцируемая и все частные производные второго порядка
),1,(, njifa
ji
xxij
=
′′
=
непрерывны в точке
),...,(
00
10 n
xxM
.
Если в этой точке второй дифференциал
),...,(
00
1
2
n
xxfd
представляет собой знакоопределенную квадратичную форму
от дифференциалов
n
dxdx ,...,
1
независимых переменных, то в
точке
),...,(
00
10 n
xxM
функция
),...,(
1 n
xxfz =
имеет локальный
экстремум. При этом если
0),...,(
00
1
2
>
n
xxfd
)0),...,((
00
1
2
<
n
xxfd
и
, то в этой точке
),...,(
00
10 n
xxM
функция
),...,(
1 n
xxfz =
имеет локальный мини-
мум (максимум). Этот случай соответствует условию:
nk
k
k
k
,1);0)1((,0 =>∆−>∆
.
Здесь
kkkk
k
k
k
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
=∆
– минор
k
-го порядка.
Если в точке
0
M
второй дифференциал представляет со-
бой не строгую определенную квадратичную форму, т.е.
0),...,(
00
1
2
≥
n
xxfd
или
0),...,(
00
1
2
≤
n
xxfd
, что соответствует
условию:
0≥∆
k
или
0)1( ≥∆−
k
k
, и имеется
m
, при котором
0=∆
m
, то требуется дальнейшее исследование, и вопрос о
существовании экстремума в точке
),...,(
00
10 n
xxM
решается с
помощью приращений функции в окрестности критической
точки.

Страницы