Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

158
В точке
)1,1(
2
M найдем значения частных производных:
,616)1,1(
;3)1,1(;616)1,1(
22
1211
=⋅=
′′
=
−
=
′
′
=
=
⋅
=
′
′
=
yy
xyxx
fa
fafa
отсюда
027
63
36
;06
21
>=
−
−
=>=
ΔΔ
, т.е. выполняется
первое условие. Сл–но, – точка минимума функции,
причем
)1,1(
2
M
1)1,1(
min
−
=
=
ff .►
Пример 2. Исследовать на экстремум функцию
.
2
)12( −−= yxz
◄ Необходимые условия существования экстремума вы-
полняются в тех точках области определения данной функции,
координаты которых удовлетворяют системе уравнений
⎩
⎨
⎧
=
′
=
′
,0
,0
y
x
z
z
т.е.
⎩
⎨
⎧
=++−
=−−
.0)12(4
,0)12(2
yx
yx
Отсюда, геометрическое место критических точек есть
прямая
,012
=
−
− yx .8,4,2
221211
=
−
=
=
aaa Так как
0,2
21
==
Δ
Δ
во всех точках прямой 012
=
−
−
yx , то нужно
исследовать функцию на экстремум, исходя из определения.
Определим знак приращения функции в
точках найденной прямой:
2
)12( −−= yxz
[]
.)2()2()12(2
)12()2()12(
)12()122(
2
2
2
22
yxyxyx
yxyxyx
yxyyxxz
Δ−Δ+Δ−Δ⋅−−=
=−−−Δ−Δ−−−=
=−−−−Δ−−Δ+=Δ
Поскольку 012
=
−
−
yx , то .
2
)2( yxz Δ−Δ=Δ
Так как , то в точках прямой
0≥Δz
012
=
−
−
yx (а не в
одной точке) функция имеет нестрогий мини-
мум.►
2
)12( −−= yxz

Страницы