Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

157
Во всех остальных случаях в точке
0
M
заведомо нет экс-
тремума.
Пример 1. Исследовать на локальный экстремум функцию
xyyxyxf 3),(
33
−+=
.
◄ Область определения данной функции – вся плос-
кость
OXY
. Определим, в каких точках области определения
данной функции выполняются необходимые условия существо-
вания экстремума. Частные производные функции:
xyfyxf
yx
33,33
22
−=
′
−=
′
.
Для определения координат стационарных точек функции
составляем систему уравнений
=
=
⇒
=−
=−
,0
,0
,033
,033
1
1
2
2
y
x
xy
yx
или
=
=
.1
,1
2
2
y
x
Отсюда
)0,0(
1
M
и
)1,1(
2
M
– стационарные точки. Прове-
рим выполнение достаточных условий существования экстре-
мума в точках
, т.е. знакоопределенность второго диф-
ференциала
222
2),( dyfdxdyfdxfyxfd
yyxyxxM
′′
+
′′
+
′′
=
,
который представлен квадратичной формой от дифференциалов
dydx,
.
Вторые частные производные данной функции:
yffxf
yyxx
6,3,6
''''''
=−==
.
Рассмотрим точку
).0,0(
1
M
Поскольку
,006)0,0(
;3)0,0(;006)0,0(
22
1211
=⋅=
′′
=
−=
′′
==⋅=
′′
=
yy
xyxx
fa
fafa
то
09
03
30
;0
21
<−=
−
−
==
∆∆
– этот случай соответствует
третьему условию. Сл–но, точка
)0,0(
1
M
не является экстре-
мальной.

Страницы