Опорные конспекты по высшей математике. Часть 2. Бухенский К.В - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

159
9.2. Условный экстремум
Опр. Функция ),...,(
1 n
xxfz
=
имеет условный максимум
(условный минимум) в точке , если существует та-
кая окрестность точки
),...,(
00
10
n
xxM
,
0
M для всех точек
M
которой
),...,(),...,(
00
11
nn
xxfxxf ≠ удовлетворяющих уравнениям связи
,0),...,(
1
=
nk
xx
ϕ
где nmmk <= ;,1 ,
выполняется неравенство
),...,(),...,(
1
00
1 nn
xxfxxf > .
(соответственно ). ),...,(),...,(
1
00
1 nn
xxfxxf <
Задача нахождения условного экстремума сводится к ис-
следованию на обычный экстремум функции Лагранжа:
∑
=
+=
m
k
nkknmn
xxxxfxxF
1
1111
);,...,(),...,(),...,,,...,(
ϕλλλ
постоянные называются множителями Лагранжа.
k
λ
При этом знак второго дифференциала
Fd
2
в стационарной
точке определяет характер экстремума при усло-
вии, что дифференциалы
),...,(
00
10
n
xxM
n
dxdxdx ,...,,
21
связаны соотношения-
ми
∑
=
=
∂
n
i
i
i
nk
dx
dx
xx
1
00
1
,0
),...,(
ϕ
где mk ,1= при .0...
22
2
2
1
≠+++
n
dxdxdx
Пример 3. Исследовать на экстремум функцию
,1
22
yxz −−= если переменные
x
и
y
связаны уравнением
01 =−+ yx .
◄ 1 способ. Графиком функции
22
1 yxz −−= служит
верхняя часть сферы. Эта функция имеет максимум в начале
координат,
1)0,0(
max
=
z , если уравнение прямой
A
B
есть
то геометрически ясно, что для точек этой прямой
,01 =−+ yx

Страницы