Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

157
ГЛАВА 6. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Функциональные последовательности и ряды
1.1. Функциональная последовательность
и функциональный ряд
Опр.1. Рассмотрим функции
( )
xu
1
,
( )
xu
2
,…,
( )
xu
n
,…
Пусть области определения этих функций – множества
( )
11
XuD =
,
( )
22
XuD =
,…,
( )
nn
XuD =
, … Предположим, что
∅≠=
+∞
=
1n
n
XX
. Будем рассматривать последовательность
( ){ }
xu
n
. Она называется функциональной последовательностью
(ФП).
Опр. 2. ФП
( ){ }
xu
n
называется сходящейся в
точке
Xx ∈
0
, если существует конечный предел
[при каждом фиксированном
Xx ∈
0
последовательность
( ){ }
0
xu
n
является числовой].
Опр. 3. Множество всех
Xx ∈
, при которых ФП
( ){ }
xu
n
сходится, называется областью сходимости ФП.
Обозначим область сходимости ФП через
0
X
. Очевидно,
что
XX ⊆
0
. Если
∅≠
0
X
, то можно рассматривать функцию
f
:
( ) ( )
=∈∀
+∞→
xuxfXx
n
n
lim
0
.
Пример 1. Найти область сходимости ФП
{ }
n
x
.
◄ Пусть
( ){ }
{ }
n
n
xxu =
. Тогда
( )
∞+∞−= ;X
.
При
1<x
получим
( )
0limlim ==
+∞→+∞→
n
n
n
n
xxu
.
При
1>x
получим
( )
+∞==
+∞→+∞→
n
n
n
n
xxu limlim
.
При
1=x
получим
( )
11limlim
==
+∞→+∞→
n
n
n
n
xu
.

Страницы