Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

216
( )
∫
=
−
−
dxexfc
nx
i
n
π
2
1
. (4)
Вопрос о сходимости ряда Фурье в комплексной форме ре-
шается с помощью теоремы Дирихле.
Пример 1. Записать ряд Фурье в комплексной форме для
π
2
-периодической функции
( )
xfy =
такой, что при
(
]
ππ
;−∈x
( )
x
exf
2
=
.
◄ Т.к. функция
( )
xfy =
имеет период
π
2=T
, то ее ко-
эффициенты Фурье находятся по формуле (4) при
π
=
, т.е.
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
.
22
1
22
1
22
1
2
1
2
1
2222
222
ππππππ
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
πππ
inininin
xininxx
nx
i
x
n
eeee
in
ee
in
e
in
dxedxeec
−−−−−
−
−
−
−
−
−
−
−
=−
−
=
=
−
=
∫
=
∫
=
Т.к.
, то
( )
( ) ( )
( )
=−−−
−
=
−
nn
n
ee
in
c 11
22
1
22
ππ
π
( )
( )
( )
( )
( )
.2sh
2
1
22
1
22
π
ππ
ππ
in
ee
in
nn
−
−
=
−
−
−
=
−
Ряд Фурье функции
( )
xfy =
будет иметь вид
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∑
−
−
=
∑
−
−
∞+
−∞=
∞+
−∞= n
nxi
n
n
nxi
n
e
in
e
in
xf
ππ
π
π
π
π
2
12sh
2sh
2
1
~
.
Применим к полученному ряду теорему Дирихле
( ) ( )
( )
( )
( )
±==
+
−∈
=
∑
−
−
−
∞+
−∞=
.,2ch
2
,;,
2
12sh
22
2
ππ
ππ
π
π
ππ
π
x
ee
xe
e
in
x
n
nxi
n
Т.о., в точках непрерывности функции
( )
xfy =
ряд Фурье
сходится к этой функции, а в точках разрыва
( )
12 += mx
π
, где
Z∈m
, к числу
( )
π
2ch
.

Страницы