Опорные конспекты по высшей математике. Часть 3. Бухенский К.В - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГРТУ | Рязань

Составители: 

Рубрика: 

215
§ 4. Ряд Фурье в комплексной форме
При решении различных задач физики и радиотехники при-
нято записывать тригонометрический ряд Фурье в комплексной
форме, та как она алгебраически проще и более симметрична.
Формулы Эйлера
2
cos
αα
α
ii
ee
−
+
=
,
i
ee
ii
2
sin
αα
α
−
−
=
по-
зволяют выразить тригонометрические функции через показа-
тельные функции с комплексным показателем. Поэтому триго-
нометрический ряд Фурье можно представить в комплексной
форме.
Пусть
2
-периодическая функция
( )
xfy =
имеет триго-
нометрический ряд Фурье
( )
∑
+
+
∞+
=1
0
sincos
2
~
n
nn
nx
b
nx
a
a
xf
ππ
.
Т.к.
2
cos
nx
i
nx
i
eenx
ππ
π
−
+
=
,
i
eenx
nx
i
nx
i
2
sin
ππ
π
−
−
=
,
то
=
−
+
+
=
+
−−
i
ee
b
ee
a
nx
b
nx
a
nx
i
nx
i
n
nx
i
nx
i
nnn
22
sincos
ππππ
ππ
.
22
nx
i
nn
nx
i
nn
e
iba
e
iba
ππ
−
+
+
−
=
Введем обозначения
,
2
nn
n
iba
c
−
=
,
2
nn
n
iba
c
+
=
−
.
В результате ряд Фурье функции
( )
xfy =
примет вид
( )
∑
∞+
−∞=n
nx
i
n
ecxf
π
~
. (3)
Ряд (3) называется рядом Фурье для функции
( )
xfy =
в
комплексной форме. Коэффициенты ряда Фурье в комплексной
форме находят по формуле

Страницы