ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пример 5. Круглая пластинка радиусом а, жестко защемленная по контуру, находится под действием внешней
нагрузки
()
qr qr a= / . Жесткость пластинки D = const . Найти уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки,
составить выражения и построить эпюры для M
r
, M
, Q
r
.
Р е ш е н и е.
1 Находим уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки.
Для этого интегрируем последовательно четыре раза уравнение (5.1). Таким образом,
()
∫∫∫∫
++++= drdrdrrdrrq
r
r
rD
rCCrrCrCw
111
lnln
2
43
2
21
,
или
wC rCr rC Cr w=+ +++
12
2
34
2
ln ln
*
.
Здесь С
1
, С
2
, С
3
, С
4
– постоянные интегрирования, определяемые из условий нагрузки и закрепления пластинки;
()
∫∫∫∫
= drdrdrrdrrq
r
r
rD
w
111
*
– частное решение уравнения (5.1).
При
()
qr qr a= / получаем
w
qr
aD
*
=
5
225
.
Находим постоянные интегрирования С
1
, С
2
, С
3
, С
4
. В заданной пластинке нет отверстия в середине, следовательно,
прогиб в центре должен иметь определенное конечное значение. Это возможно при
C
1
0
=
, так как иначе в центре пластинки
прогиб получится равным бесконечности.
Далее, в центре пластинки нет сосредоточенной силы, следовательно, не должны возникать бесконечно большие
внутренние усилия. Для этого принимаем С
2
= 0.
Остальные постоянные интегрирования С
3
и С
4
находим из граничных условий на контуре пластинки.
В данном случае контур жестко защемлен, т.е. при
r
a
=
прогиб и угол наклона срединной плоскости должны
обращаться в ноль. Выражения для прогиба и угла поворота
aD
qr
rCCw
225
5
2
43
++= ,
dw
d
r
Cr
qr
aD
=+2
45
4
4
.
При r = a имеем
CCa
qa
D
Ca
qa
D
34
2
4
4
3
225
0
2
45
0
++ =
+=
;
.
(5.5)
Из (5.5) получаем:
C
qa
D
3
4
150
=
;
C
qa
D
4
2
90
=−
.
Уравнение изогнутой срединной поверхности в окончательном виде
w
qa
D
r
a
r
a
=−+
42
2
5
5
450
3
52
.
Составляем выражения для изгибающих моментов M
r
, M
и поперечной силы Q
r
:
dw
dr
qa
D
r
a
r
a
=−+
4
2
4
5
45
;
dw
dr
qa
Da
r
a
2
2
4
2
3
5
45
14
=−+
;
dw
d
r
qr
Da
3
3
2
4
15
=
;
=
µ
+−=
dr
dw
r
dr
wd
DM
r
2
2
()
qa r
a
2
3
45
14+− +
µµ
;
=
1
2
2
µ+−=
θ
dr
wd
dr
dw
r
DM
()
qa r
a
2
3
45
114+−+
µµ
;
=
11
22
2
3
3
−+−=
dr
dw
rdr
wd
r
dr
wd
DQ
r
−
qa r
a3
2
.
По последним выражениям строим эпюры усилий для радиального сечения, изменяя r от 0 до +a (табл. 5.2 и рис. 5.2).
