ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4)
(
)
11
1
−−
−
∪=∪ φϕφϕ ;
5)
(
)
(
)
(
)
χ
φ
χ
ϕ
χ
φ
ϕ
ooo
∪
=
∪
.
15. Приведите примеры бинарных отношений:
1) рефлексивных и транзитивных , но не антисимметричных;
2) транзитивных и симметричных , но не рефлексивных;
3) рефлексивных и симметричных , но не транзитивных;
4) рефлексивных и транзитивных , но не симметричных .
16. Докажите, что если
ρ
- транзитивное и симметричное бинарное от -
ношение на множестве
Α
, область определения которого совпадает
с
Α
, то
ρ
рефлексивно.
1.3 Специальные бинарные отношения
Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение
ρ
на мно-
жестве
Χ
называется отношением эквивалентности на множестве
Χ
.
Для отношения эквивалентности вместо записи
(
)
ρ
∈
yx , часто использу -
ют запись
y
x
≈
(читается :
x
эквивалентен
y
)
Классом эквивалентности, порожденным элементом
x
, называется
подмножество множества
Χ
, состоящее из тех элементов
Χ
∈
y
, для ко-
торых
(
)
ρ
∈
yx , . Класс эквивалентности, порожденный элементом
x
,
обозначается через
[
]
x
:
[
]
(
)
{
}
.,:
ρ
∈
∈
=
yxyx
Χ
Разбиением множества
Χ
называется совокупность попарно непе -
ресекающихся подмножеств
Χ
таких, что каждый элемент множества
Χ
принадлежит одному и только одному из этих подмножеств. Всякое раз-
биение множества
Χ
определяет на
Χ
отношение эквивалентности
ρ
:
(
)
ρ
∈
yx , тогда и только тогда, когда
x
и
y
принадлежат одному подмно-
жеству разбиения. С другой стороны, всякое отношение эквивалентности
ρ
определяет разбиение множества
Χ
на классы эквивалентности отно-
сительно этого отношения.
Совокупность классов эквивалентности элементов множества
Χ
по отношению эквивалентности
ρ
называется фактор-множеством множе-
ства
Χ
по отношению
ρ
и обозначается
ρ
/
Χ
.
Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на-
зывается отношением частичного порядка на множестве
Χ
и вместо запи -
си
(
)
ρ
∈
yx , для данного отношения часто используют запись
y
x
≤
. От-
ношение частичного порядка на множестве
Χ
, для которого любые два
4) (ϕ ∪ φ) =ϕ −1 ∪ φ−1 ; −1 5) (ϕ ∪ φ) χ =(ϕ χ )∪ (φ χ ) . 15. Приведите примеры бинарных отношений: 1) рефлексивных и транзитивных, но не антисимметричных; 2) транзитивных и симметричных, но не рефлексивных; 3) рефлексивных и симметричных, но не транзитивных; 4) рефлексивных и транзитивных, но не симметричных. 16. Докажите, что если ρ - транзитивное и симметричное бинарное от- ношение на множестве Α , область определения которого совпадает с Α , то ρ рефлексивно. 1.3 Специальные бинарные отношения Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение ρ на мно- жестве Χ называется отношением эквивалентности на множестве Χ . Для отношения эквивалентности вместо записи (x, y )∈ ρ часто использу- ют запись x ≈ y (читается : x эквивалентен y ) Классом эквивалентности, порожденным элементом x , называется подмножество множества Χ , состоящее из тех элементов y ∈Χ , для ко- торых (x, y )∈ ρ . Класс эквивалентности, порожденный элементом x , обозначается через [x]: [x] ={y ∈Χ : (x, y )∈ρ}. Разбиением множества Χ называется совокупность попарно непе- ресекающихся подмножеств Χ таких, что каждый элемент множества Χ принадлежит одному и только одному из этих подмножеств. Всякое раз- биение множества Χ определяет на Χ отношение эквивалентности ρ : (x, y )∈ρ тогда и только тогда, когда x и y принадлежат одному подмно- жеству разбиения. С другой стороны, всякое отношение эквивалентности ρ определяет разбиение множества Χ на классы эквивалентности отно- сительно этого отношения. Совокупность классов эквивалентности элементов множества Χ по отношению эквивалентности ρ называется фактор-множеством множе- ства Χ по отношению ρ и обозначается Χ / ρ . Рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на- зывается отношением частичного порядка на множестве Χ и вместо запи- си (x, y )∈ ρ для данного отношения часто используют запись x ≤ y . От- ношение частичного порядка на множестве Χ , для которого любые два
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »