Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 18 стр.

�� (x, y )∈(ϕ ∩ φ)−1         � (y , x )∈ϕ ∩ φ � (x, y ), ( y , x )∈ϕ
�                       ⇒ �                  ⇒ �                     ⇒
�� (y , x )∈(ϕ ∩ φ)−1         � (x, y )∈ϕ ∩ φ � (x, y ), ( y , x )∈φ
⇒ антисимметричность ϕ,φ x = y .
1. Докажем требуемое включение. Пусть
(x, y )∈(ϕ  χ ) \ (φ  χ ) ⇒ (x, y )∈ϕ  χ, (x, y )∉φ  χ ⇒
    �      � (x , z )∈χ
    � ∃z    �                          � (x, z )∈ χ
    �         � (z , y )∈ϕ              �                     � (x, z )∈ χ
⇒ �                         ⇒ ∃z          � (z , y )∈ϕ ⇒ ∃z    �                 ⇒
  � ∀z    �    (x , z ) ∉ χ            � (z , y )∉φ              � (z, y )∈ϕ \ φ
   �        � (z , y )∉φ                �
     �       �
⇒ (x, y )∈(ϕ \ φ) χ


                               ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Пусть Χ ={∗,×}. Перечислите все элементы множеств Χ 3 , Χ 4 .
2. Найдите геометрическую интерпретацию множества Α ×Β , где Α -
   множество точек отрезка [0,1], а Β - множество точек квадрата с вер-
   шинами в точках (0,0), (0,1), (1,0 ), (1,1) .
3. Доказать, что (Α ×Β ) ∪ (Κ ×Μ ) ⊆ (Α ∪ Κ )×(Β ∪ Μ ). При каких
   Α , Β , Κ , Μ включение можно заменить равенством.
4. Доказать, что для произвольных множеств Α , Β , Κ :
            1) (Α ∪ Β )×Κ =(Α ×Κ ) ∪ (Β ×Κ );
            2) (Α \ Β )×Κ =(Α ×Κ ) \ (Β ×Κ );
            3) Α ×(Β \ Κ ) =(Α ×Β ) \ (Α ×Κ ).
5. Пусть Α ≠∅, Β ≠∅ и (Α ×Β )∪ (Β ×Α ) =Κ ×Μ . Доказать, что в этом
   случае Α =Β =Κ =Μ .
6. Перечислите все элементы бинарного отношения ρ и нарисуйте его
   граф:
            1) ρ ={(x, y ) : x < y} на множестве Χ ={1, 2,3,4,5};
            2) ρ ={(x, y ) : y =x +1}на множестве Χ ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

7. Для каждого из следующих бинарных отношений, определенных на
   множестве R , найдите область определения, область значений и нари-
   суйте декартову диаграмму:
         1) ρ ={(x, y ) : x ≤y};
         2) ρ ={(x , y ): x = y};
                  {
            3) ρ = (x, y ) : x 2 +4 y 2 ≤1 ;     }
            4) ρ ={(x , y ) : x    2
                                            }
                                       =y 2 ;