Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 16 стр.

например, пары (1,2 ) и (2,1) принадлежат ρ , но 1 ≠2 ; не является транзи-
тивным, поскольку, например (3, 2)∈ ρ, (2,1)∈ ρ , а (3,1)∉ ρ .
2)      Данное отношение является рефлексивным, поскольку для любой
точки x ∈ R разность x −x =0 ∈Ζ , т.е. (x, x )∈R ; является симметричным,
поскольку принадлежность любой пары (x, y ) отношению ρ означает
 x −y =k ∈Ζ , но тогда y −x =−k ∈Ζ , т.е. пара (y, x )∈ ρ ; не является ан-
тисиммеричным, поскольку, например, пары (1.2,3.2)∈ρ и (3.2,1.2)∈ρ ,
но 3.2 ≠1.2 ; является транзитивным, поскольку для любых x, y, z ∈R
принадлежность пар (x, y ) и (y, z ) отношению ρ означает x −y =k ∈Ζ и
 y −z =n ∈Ζ , но тогда x −z =k +n ∈Ζ , т.е. (x, z )∈ρ .
3)      Данное отношение не является рефлексивным, поскольку из всех пар
(x, x), x ∈Ζ только пара (0,0)∈ρ , ведь для всех остальных x ∈Ζ не вы-
полнено равенство 2 x =3 x ; не является симметричным, поскольку, напри-
мер, пара (3, 2)∈ρ ( 2 ⋅ 3 =3 ⋅ 2 ), а пара (2,3)∉ρ ( 2 ⋅ 2 ≠3 ⋅ 3 ); является ан-
тисимметричным, поскольку для любых пар (x, y )∈ρ, (y, x )∈ρ одновре-
менно выполняются равенства 2 x =3 y и 2 y =3 x , т.е. 9 x =4 x и 4 y =9 y ,
но это может быть только в том случае, если x =y =0 ; не является транзи-
тивным, поскольку, например, пара (9,6 )∈ρ ( 2 ⋅ 9 =3 ⋅ 6 ), пара (6, 4)∈ρ
( 2 ⋅ 6 =3 ⋅ 4 ), но пара (9,4 )∉ ρ ( 2 ⋅ 9 ≠3 ⋅ 4 ).
4)      Данное отношение не является рефлексивным, поскольку для
∅ ∈Ρ (Ζ ) пересечение ∅ ∩ ∅ =∅ , т.е. (∅, ∅)∉ρ ; является симметрич-
ным, поскольку принадлежность любой пары (x, y ) отношению ρ означа-
ет x ∩ y ≠∅ , но тогда y ∩ x ≠∅ , т.е. пара (y, x)∈ρ ; не является
транзитивным,            поскольку,          например,        пара      ({1,2}{
                                                                             , 2,3})∈ρ
( {1,2}∩ {2,3}={2}≠∅ ) и пара ({2,3}{       , 3,6,7})∈ ρ ( {2,3}∩ {3,6,7}={3}≠∅ ), но
пара ({1,2}{ , 3,6,7})∉ρ , так как {1,2}∩ {3,6,7}=∅ .

     Пример 9. Пусть на множестве R заданы следующие бинарные от-
ношения:
            {              }
      ρ1 = (x , y ) : x = y 2 ; ρ2 ={(x, y ) : x +y ≤2}; ρ3 ={(x, y ) : x + y ∈Ζ }
Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные ком-
позиции этих бинарных отношений.
     Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
                             {              }
ρ1 ={(x , y ) : (y , x )∈ ρ1}= (x , y ) : y =x 2 ;
  −1


ρ2−1 ={(x, y ) : (y, x )∈ρ2 }={(x, y ): y +x ≤2}=ρ2 ;
ρ3−1 ={(x , y ) : (y , x )∈ ρ3 }={(x , y ): y +x ∈Ζ }=ρ3 .
      В качестве примера рассмотрим некоторые композиции рассматри-
ваемых бинарных отношений:
ρ1  ρ2 ={(x, y ) : ∃z (x, z )∈ρ2 , (z, y )∈ρ1 }=