Дискретная математика. Элементы теории задачи и упражнения. Булгакова И.Н - 16 стр.

UptoLike

например, пары
(
)
2,1
и
(
)
1,2
принадлежат
ρ
, но
2
1
; не является транзи -
тивным , поскольку , например
(
)
(
)
ρ
ρ
1,2,2,3 , а
(
)
ρ
1,3 .
2) Данное отношение является рефлексивным , поскольку для любой
точки
R
x
разность
Ζ
=
0
x
x
, т .е.
(
)
Rxx
,
; является симметричным ,
поскольку принадлежность любой пары
(
)
yx , отношению
ρ
означает
Ζ
=
k
y
x
, но тогда
Ζ
=
k
x
y
, т .е. пара
(
)
ρ
xy , ; не является ан-
тисиммеричным , поскольку , например, пары
(
)
ρ
2.3,2.1 и
(
)
ρ
2.1,2.3 ,
но
2
1
2
3
; является транзитивным , поскольку для любых
R
z
y
x
принадлежность пар
(
)
yx , и
(
)
zy , отношению
ρ
означает
Ζ
=
k
y
x
и
Ζ
=
n
z
y
, но тогда
Ζ
+
=
n
k
z
x
, т .е.
(
)
ρ
zx , .
3) Данное отношение не является рефлексивным , поскольку из всех пар
(
)
Ζ
xxx ,,
только пара
(
)
ρ
0,0
, ведь для всех остальных
Ζ
x
не вы-
полнено равенство
x
x
3
2
=
; не является симметричным , поскольку , напри -
мер, пара
(
)
ρ
2,3 (
2
3
3
2
=
), а пара
(
)
ρ
3,2 (
3
3
2
2
); является ан-
тисимметричным , поскольку для любых пар
(
)
(
)
ρ
ρ
xyyx ,,, одновре -
менно выполняются равенства
y
x
3
2
=
и
x
y
3
2
=
, т .е.
x
x
4
9
=
и
y
y
9
4
=
,
но это может быть только в том случае, если
0
=
=
y
x
; не является транзи -
тивным , поскольку , например, пара
(
)
ρ
6,9
(
6
3
9
2
=
), пара
(
)
ρ
4,6
(
4
3
6
2
=
), но пара
(
)
ρ
4,9 (
4
3
9
2
).
4) Данное отношение не является рефлексивным , поскольку для
(
)
Ζ
Ρ
пересечение
=
, т .е.
(
)
ρ
, ; является симметрич-
ным , поскольку принадлежность любой пары
(
)
yx , отношению
ρ
означа -
ет
y
x
, но тогда
x
y
, т.е. пара
(
)
ρ
xy , ; не является
транзитивным , поскольку , например, пара
{
}
{
}
(
)
ρ
3,2,2,1
(
{
}
{
}
{
}
=
23,22,1
) и пара
{
}
{
}
(
)
ρ
7,6,3,3,2 (
{
}
{
}
{
}
=
37,6,33,2
), но
пара
{
}
{
}
(
)
ρ
7,6,3,2,1 , так как
{
}
{
}
=
7,6,32,1
.
Пример 9. Пусть на множестве
R
заданы следующие бинарные от -
ношения:
(
)
{
}
;:,
2
1
yxyx == ρ
(
)
{
}
;2:,
2
+
=
yxyx
ρ
(
)
{
}
Ζ
+
=
yxyx :,
3
ρ
Найдите обратные к данным бинарным отношениям и всевозможные ком -
позиции этих бинарных отношений.
Решение. Вначале выпишем обратные отношения:
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
2
1
1
1
:,,:, xyyxxyyx ==∈=
ρρ ;
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
22
1
2
2:,,:, ρρρ =+=∈=
xyyxxyyx
;
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
33
1
3
:,,:, ρρρ =+=∈=
Ζ xyyxxyyx .
В качестве примера рассмотрим некоторые композиции рассматри -
ваемых бинарных отношений:
(
)
(
)
(
)
{
}
=
=
1221
,,,:,
ρ
ρ
ρ
ρ
yzzxzyxo